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Factorización de Darboux y aplicaciones

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Breve resumen

El objetivo del trabajo es el estudio de la factorización de Darboux para matrices por bandas. Este tipo de factorización proporciona una importante herramienta en teoría de aproximación y tiene interesantes aplicaciones que aparecen frecuentemente en problemas de ciencia e ingeniería. Entre dichas aplicaciones destacan la resolución de sistemas lineales por bandas, construcción de fórmulas de cuadratura, estudio de caminos aleatorios, o la obtención de soluciones de ciertos sistemas integrables como son las redes de Toda o Volterra entre otras.

Tareas a realizar

  1. Estudio de diferentes factorizaciones matriciales para matrices por bandas.
  2. Factorización matricial de Darboux. Transformada discreta de Darboux y transformaciones circulares de matrices por banda.
  3. Implementación del algoritmo de factorización de Darboux.
  4. Aplicaciones a sistemas por bandas y sistemas integrables.

Referencias

  1. Barrios Rolanía, D., On the Darboux transform and the solutions of some integrable systems, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales – Serie A: Matemáticas (RACSAM) 113(2): 1359–1378 (2019).
  2. Barrios Rolanía, D., García-Ardila, J.C., Manrique, D., On the Darboux transformations and sequences of p-orthogonal polynomials, Appl. Math. Comput.  382, 25337 (2020).
  3. Burden, R.L., Faires, J.D., Burden, A.M., Análisis Numérico, Cengage Learning Ed., 2017.
  4. Horn, R. A.,  Johnson, C.R., Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2013.

Tutores

 

Geometrı́a de Lie de las ecuaciones de Ricatti

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El objetivo de este trabajo es estudiar las ecuaciones de Ricatti de primer y segundo orden desde el punto de vista de la teorı́a de Lie, obteniendo sus soluciones y propiedades geométricas. Argumentaremos por qué estas ecuaciones de Ricatti son importantes en ingenierı́a, revisando sus usos en la teorı́a de control.

Los sistemas de Lie deben su nombre al célebre matemático noruego Sophus Lie, que fue el descubridor de los llamados grupos de Lie, que constituyen una teorı́a muy importante en el estudio de simetrı́as de ecuaciones diferenciales y en la ingenierı́a. Por ejemplo, el estudio de grupos de Lie es indispensable en robótica. Estos sistemas de Lie son sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales que admiten álgebras de Lie finito dimensionales (el tratamiento local de los grupos de Lie), y esto es una propiedad muy importante que los dota con una gran cantidad de propiedades geométricas. Los sistemas de Lie admiten soluciones generales en forma de principio de superposición no lineal, y esto es un hecho muy interesante, pues supone una generalización de las usuales combinaciones lineales de soluciones de ecuaciones lineales.

Con respecto a las aplicaciones de los sistemas de Lie, podemos afirmar que aparecen muy frecuentemente en la literatura fı́sica y matemática. Por ejemplo, en cosmologı́a, en matemática financiera, en mecánica cuántica, en biologı́a y sus sistemas dinámicos de competición de especies presa-depredador, o modelos de contagio viral. En nuestro caso, nos centraremos en las aplicaciones de los sistemas de Lie a la ingenierı́a mediante la ecuación diferencial de Ricatti de primer y segundo orden. Desde que se introdujo esta ecuación en la teorı́a de control en la década de los 60, su versión matricial ha servido como modelo en muchas aplicaciones: en control óptimo, optimización y estabilización, realización estocástica, sı́ntesis de redes pasivas, entre otras. Se trata de estudiar geométricamente las ecuaciones diferenciales de Ricatti de primer y segundo orden, y obtener sus propiedades mediante la teorı́a de Lie.

Tareas a realizar

  • Breve introducción geométrica: concepto de variedad, grupo y álgebra de Lie. Campos vectoriales y su integración por el método de las caracterı́sticas. Integrales primeras y propiedades. Introducción geométrica de sistemas de Lie (álgebra de Lie minimal, campos vectoriales dependientes del tiempo, etc.)
  • Sistemas de Lie y principios de superposición no lineal. La ecuación diferencial de Ricatti de primer orden como sistema de Lie y su solución como principio de superposición no lineal.
  • Sistemas de Lie Hamiltonianos. Principio de superposición para sistemas de Lie Hamiltonianos. La ecuación diferencial de Ricatti de segundo orden y su solución como principio de superposición no lineal.

Referencias

  1. J.F. Cariñena and J. de Lucas, Superposition rules and second-order Riccati equations, J. Geom. Mech. 3, 1–22, (2011).
  2. J.F. Cariñena and J. de Lucas, Lie systems: theory, generalizations, and applications, Dissertationes Math. 479, (2011)
  3. J.F. Cariñena, J. de Lucas, C. Sardón A new Lie systems approach to second-order Riccati equations, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 9 (02), 1260007 13 (2012)
  4. J. de Lucas, C. Sardón, A guide to Lie systems with compatible geometric structures, World Scientific, (2020). https://doi.org/10.1142/q0208

Profesores

Cristina Sardón Muñoz

Modelos EDP para fluidos en aguas poco profundas: integrabilidad y soluciones

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En este trabajo vamos a estudiar la ecuación de Camassa–Holm (CH), una ecuación diferencial en derivadas parciales cuyas soluciones son unas ondas muy particulares denominadas picones, un tipo de solitón no diferenciable que surge en las superficies acuáticas cuando sopla el viento. Se trata de estudiar la ecuación CH desde el punto de vista de su integrabilidad, el cálculo de simetrı́as y reducciones, y el análisis de las soluciones.

En este trabajo vamos a estudiar la ecuación de Camassa–Holm (CH), una ecuación diferencial en derivadas parciales cuyas soluciones son unas ondas muy particulares denominadas picones, un tipo de solitón no diferenciable que surge en las superficies acuáticas cuando sopla el viento. Se trata de estudiar la ecuación CH desde el punto de vista de su integrabilidad, el cálculo de simetrı́as y reducciones, y el análisis de las soluciones.

Los solitones surgen como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se presentan como unas ondas muy solitarias, que se propagan sin deformarse en medios no lineales debido al delicado balance entre efectos no lineales en su propagación. Los solitones surgen en diferentes disciplinas: existen solitones electromagnéticos propagándose en dispositivos electrónicos, ciertas ondas cerebrales pueden identificarse como solitones, y hasta la señal lumı́nica de púlsares en el espacio se corresponde con una colección de solitones (la portada del disco Unknown Pleasures de Joy Division muestra primera la señal lumı́nica registrada procedente de un púlsar en los años 70, y se corresponde con un “tren” de solitones).

En este trabajo queremos estudiar la integrabilidad de ciertas EDP, en particular la mencionada ecuación CH, que admite soluciones solitónicas. La integrabilidad se estudiará desarrollando ciertos métodos quasialgorı́tmicos utilizando paquetes de cálculo simbólico, como podrı́a ser MAPLE, Mathematica o MatLab. Para finalizar, modelizaremos las soluciones y estudiaremos la dinámica.

Tareas a realizar

  • Introducción de la ecuación de Camassa-Holm: descripción histórica.
  • Integrabilidad de CH. Método de Painlevé.
  • Integrabilidad de CH. Método del Par de Lax.
  • Cálculo de simetrı́as y reducción de la ecuación de CH.
  • Soluciones picónicas y su comportamiento.

Referencias

  1. R. Camassa, D.D. Holm, An integrable shallow water equation with peaked solitons, Phys. Rev. Lett., 71, 16611664 (1993).
  2. P.G. Estévez, J.D. Lejarreta, C.Sardón Integrable 1 + 1 dimensional hierarchies arising from reduction of a non-isospectral problem in 2 + 1 dimensions, Appl. Math. Computation 224, 311-324 (2011).
  3. C. Sardón, Lie systems, Lie symmetries and reciprocal transformations, https://arxiv.org/abs/1508.00726 (2015).
  4. H. Stephani, M. MacCallum, Differential Equations: Their Solution Using Symmetries, Cambridge University Press (1990).

Profesores

Cristina Sardón Muñoz