En este trabajo vamos a estudiar la ecuación de Camassa–Holm (CH), una ecuación diferencial en derivadas parciales cuyas soluciones son unas ondas muy particulares denominadas picones, un tipo de solitón no diferenciable que surge en las superficies acuáticas cuando sopla el viento. Se trata de estudiar la ecuación CH desde el punto de vista de su integrabilidad, el cálculo de simetrı́as y reducciones, y el análisis de las soluciones.
En este trabajo vamos a estudiar la ecuación de Camassa–Holm (CH), una ecuación diferencial en derivadas parciales cuyas soluciones son unas ondas muy particulares denominadas picones, un tipo de solitón no diferenciable que surge en las superficies acuáticas cuando sopla el viento. Se trata de estudiar la ecuación CH desde el punto de vista de su integrabilidad, el cálculo de simetrı́as y reducciones, y el análisis de las soluciones.
Los solitones surgen como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se presentan como unas ondas muy solitarias, que se propagan sin deformarse en medios no lineales debido al delicado balance entre efectos no lineales en su propagación. Los solitones surgen en diferentes disciplinas: existen solitones electromagnéticos propagándose en dispositivos electrónicos, ciertas ondas cerebrales pueden identificarse como solitones, y hasta la señal lumı́nica de púlsares en el espacio se corresponde con una colección de solitones (la portada del disco Unknown Pleasures de Joy Division muestra primera la señal lumı́nica registrada procedente de un púlsar en los años 70, y se corresponde con un “tren” de solitones).
En este trabajo queremos estudiar la integrabilidad de ciertas EDP, en particular la mencionada ecuación CH, que admite soluciones solitónicas. La integrabilidad se estudiará desarrollando ciertos métodos quasialgorı́tmicos utilizando paquetes de cálculo simbólico, como podrı́a ser MAPLE, Mathematica o MatLab. Para finalizar, modelizaremos las soluciones y estudiaremos la dinámica.
Tareas a realizar
- Introducción de la ecuación de Camassa-Holm: descripción histórica.
- Integrabilidad de CH. Método de Painlevé.
- Integrabilidad de CH. Método del Par de Lax.
- Cálculo de simetrı́as y reducción de la ecuación de CH.
- Soluciones picónicas y su comportamiento.
Referencias
- R. Camassa, D.D. Holm, An integrable shallow water equation with peaked solitons, Phys. Rev. Lett., 71, 16611664 (1993).
- P.G. Estévez, J.D. Lejarreta, C.Sardón Integrable 1 + 1 dimensional hierarchies arising from reduction of a non-isospectral problem in 2 + 1 dimensions, Appl. Math. Computation 224, 311-324 (2011).
- C. Sardón, Lie systems, Lie symmetries and reciprocal transformations, https://arxiv.org/abs/1508.00726 (2015).
- H. Stephani, M. MacCallum, Differential Equations: Their Solution Using Symmetries, Cambridge University Press (1990).
Profesores
Cristina Sardón Muñoz