El objetivo de este trabajo es estudiar las ecuaciones de Ricatti de primer y segundo orden desde el punto de vista de la teorı́a de Lie, obteniendo sus soluciones y propiedades geométricas. Argumentaremos por qué estas ecuaciones de Ricatti son importantes en ingenierı́a, revisando sus usos en la teorı́a de control.
Los sistemas de Lie deben su nombre al célebre matemático noruego Sophus Lie, que fue el descubridor de los llamados grupos de Lie, que constituyen una teorı́a muy importante en el estudio de simetrı́as de ecuaciones diferenciales y en la ingenierı́a. Por ejemplo, el estudio de grupos de Lie es indispensable en robótica. Estos sistemas de Lie son sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales que admiten álgebras de Lie finito dimensionales (el tratamiento local de los grupos de Lie), y esto es una propiedad muy importante que los dota con una gran cantidad de propiedades geométricas. Los sistemas de Lie admiten soluciones generales en forma de principio de superposición no lineal, y esto es un hecho muy interesante, pues supone una generalización de las usuales combinaciones lineales de soluciones de ecuaciones lineales.
Con respecto a las aplicaciones de los sistemas de Lie, podemos afirmar que aparecen muy frecuentemente en la literatura fı́sica y matemática. Por ejemplo, en cosmologı́a, en matemática financiera, en mecánica cuántica, en biologı́a y sus sistemas dinámicos de competición de especies presa-depredador, o modelos de contagio viral. En nuestro caso, nos centraremos en las aplicaciones de los sistemas de Lie a la ingenierı́a mediante la ecuación diferencial de Ricatti de primer y segundo orden. Desde que se introdujo esta ecuación en la teorı́a de control en la década de los 60, su versión matricial ha servido como modelo en muchas aplicaciones: en control óptimo, optimización y estabilización, realización estocástica, sı́ntesis de redes pasivas, entre otras. Se trata de estudiar geométricamente las ecuaciones diferenciales de Ricatti de primer y segundo orden, y obtener sus propiedades mediante la teorı́a de Lie.
Tareas a realizar
- Breve introducción geométrica: concepto de variedad, grupo y álgebra de Lie. Campos vectoriales y su integración por el método de las caracterı́sticas. Integrales primeras y propiedades. Introducción geométrica de sistemas de Lie (álgebra de Lie minimal, campos vectoriales dependientes del tiempo, etc.)
- Sistemas de Lie y principios de superposición no lineal. La ecuación diferencial de Ricatti de primer orden como sistema de Lie y su solución como principio de superposición no lineal.
- Sistemas de Lie Hamiltonianos. Principio de superposición para sistemas de Lie Hamiltonianos. La ecuación diferencial de Ricatti de segundo orden y su solución como principio de superposición no lineal.
Referencias
- J.F. Cariñena and J. de Lucas, Superposition rules and second-order Riccati equations, J. Geom. Mech. 3, 1–22, (2011).
- J.F. Cariñena and J. de Lucas, Lie systems: theory, generalizations, and applications, Dissertationes Math. 479, (2011)
- J.F. Cariñena, J. de Lucas, C. Sardón A new Lie systems approach to second-order Riccati equations, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 9 (02), 1260007 13 (2012)
- J. de Lucas, C. Sardón, A guide to Lie systems with compatible geometric structures, World Scientific, (2020). https://doi.org/10.1142/q0208
Profesores
Cristina Sardón Muñoz