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Modos de vibración de una estructura de cuasi-Sierpinski de N niveles

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Breve Resumen

Definimos como estructura de cuasi-Sierpinski de N niveles aquella estructura mecánicamente equivalente a un pre-fractal de Sierpinski de N iteraciones con el menor número de elementos.

Cuando esta estructura tiene infinitos niveles transmite uniformemente a la base las cargas aplicadas en su vértice superior. Al colocar varias de estas estructuras en paralelo se obtiene un prisma, y al disponer varios prismas se puede colocar un tablero sobre ellos de forma que la carga sobre el tablero se distribuya uniformemente sobre la base de los prismas. Ello sirve para edificar infraestructuras sobre terrenos colapsables, tal como los fondos marinos, y permite sustituir las islas artificiales por este tipo de estructuras con el consiguiente ahorro de costes, tiempo y reducción del impacto ambiental. La estructura comentada ha dado origen a dos patentes cuyos inventores somos los directores de este TFG.

La construcción de infraestructuras en terrenos ganados al mar es especialmente intensa en el Indo-Pacífico, y por ello esta es la región más propicia para el uso de la técnica reseñada. Dado que esta región es muy propensa a los terremotos es conveniente estudiar el comportamiento no lineal de la estructura y sus vibraciones cuando está sometida a grandes fuerzas. Paso previo para ello es el estudio de las frecuencias naturales, que se abordará en este TFG.

Los estudiantes interesados, con buen expediente académico, deben dominar la mecánica de estructuras, el álgebra matricial y software como Matlab o equivalente.

Acerca de nosotros: Jesús San Martín es profesor titular del Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial y Javier Rodríguez es doctorando próximo a leer su tesis doctoral. Una de nuestras líneas de investigación es la aplicación de fractales a la ingeniería. A este respecto, además de las dos patentes mencionadas, hemos publicado diversos artículos en revistas en el primer cuartil del Journal Citation Report.

Tutores

Modelos matemáticos de transistores de grafeno

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Breve Resumen

El grafeno es un material bidimensional que puede llevar la electrónica de alta frecuencia a nuevas e interesantes aplicaciones. Por ello es interesante estudiar la física que hay detrás de los transistores de grafeno.

Este proyecto consiste en resolver matemáticamente un modelo de transistores de grafeno que consta de dos ecuaciones diferenciales acopladas:

1.       La ley de Gauss de la electrostática en 2 dimensiones (ecuación de Poisson), a resolver mediante el método de elementos finitos.

2.       La ecuación de la conservación de la carga en 1 dimensión, a resolver mediante el método de Runge-Kutta.

Es recomendable haber cursado o estar cursando las asignaturas de «Matemáticas de la Especialidad Matemática Industrial» y/o «El Método de los Elementos Finitos en Ingeniería».

Tutores

Programación de una red neuronal para ajustes polinómicos

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Breve Resumen

El estudio de las concentraciones de determinados componentes en el agua marina se hace a través del agua solar reflejada. Hay una relación polinómica entre ambas variables.

Este TFG busca construir una red neuronal desde cero que permita el ajuste de los parámetros del polinomio buscado

La implementación se realizará en lenguaje C. Es necesario un excelente dominio de la programación. Importante buen manejo del álgebra matricial y del cálculo diferencial de varias variables.

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Modelos de predicción de energía solar

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Breve Resumen

Tener buena modelos de predicción de energía solar hace que los gestores de los parques solares tengan un mayor rendimiento económico y que controlar que la demanda y generación de energía eléctrica en cada hora coinciden sea más económico. Muchos de estos modelos siguen un enfoque en el que se estudia los factores que influyen en la generación de energía solar y se modéliza su influencia. Otros modelos siguen el enfoque del aprendizaje automático en el que el modelos se ajusta a los datos disponibles.

El objetivo de este TFG consistirá en estudiar y reproducir alguno de estos modelos. Posteriormente, se analizarán y se intentará interpretar los resultados obtenidos. Finalmente en función de estos se sugerirán mejoras de estos modelos. La implementación de los modelos se llevará a cabo en Python y/o R.

Las asignaturas que se recomienda haber cursado (aunque no es estrictamente necesario) son:

  • Modelos Matemáticos en Ingeniería Eléctrica
  • Análisis de datos
  • Optimización y Simulación

Si algún/a estudiante tiene acceso a un conjunto de datos y un problema concreto relacionado con estos, podemos tratar de confeccionar otros proyectos de TFGs.

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Modelos epidémicos en tiempo discreto para el estudio del Covid 19: planteamiento, ajuste y análisis

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Breve Resumen

Los modelos matemáticos se han convertido en una herramienta imprescible para entender la dinámica de las enfermedades, como ha puesto de manifiesto la epidemia del Covid 19. En la inmensa mayoría de los trabajos en este campo se supone que el tiempo es continuo, con lo que el modelo resultante es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, y son relativamente pocos los trabajos en los que se consideran modelos en tiempo discreto, representados por ecuaciones en diferencias no lineales. Sin embargo, el hecho de que la toma de datos tenga lugar de manera discreta justifica (entre otras razones) el uso de modelos en tiempo discreto.

En este trabajo se plantearán distintos modelos epidémicos en tiempo discreto, se llevará a cabo su estudio analítico hasta donde sea posible, y se simularán con el ordenador para analizar su comportamiento. En particular se considerarán distintos modelos para el estudio de la Covid 19 y se hará uso de datos reales de la epidemia en España para llevar a cabo el ajuste de parámetros y para obtener conclusiones que puedan ser útiles para el futuro sobre distintos aspectos entre los cuales está el efecto de las medidas de control sobre la epidemia.

Se adjuntan como ejemplo tres TFGs realizados por alumnos de la ETSII en el campo de la modelización matemática en epidemiología.

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  • Luis Sanz (luis.sanz@upm.es)

Dinámica del Covid 19 en una red de ciudades interconectadas

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Breve Resumen

En este trabajo se hará un análisis de la evolución de los brotes de Covid 19 en un sistema formado por varias ciudades entre las cuales los individuos pueden viajar. Primero se usarán modelos deterministas, constituidos por sistemas de ecuaciones diferenciales, para estudiar algunas características del modelo y, para un análisis más fino del efecto de la importación de un número pequeño de individuos infectados en cada territorio, se recurrirá a modelos estocásticos, correspondientes a cadenas de Markov en tiempo continuo.

Se plantearán los distintos modelos y se llevará a cabo un estudio de los mismos recurriendo tanto a técnicas analíticas (por ejemplo para el cálculo del número de reproducción básico R0) como a las simulaciones utilizando el ordenador.

Entre otros aspectos, se prestará atención a la influencia en la dinámica del brote de las distintas medidas de control en cada ciudad y de las medidas de restricción de viajes entre las mismas.

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  • Luis Sanz (luis.sanz@upm.es)

Migración de la implementación y simulación de un modelo de elementos finitos para baterías de ion de Litio

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Breve Resumen

Las baterías para el almacenamiento de energía eléctrica están presentes en gran cantidad de dispositivos de nuestro día a día. Hay distintos tipos de baterías pero, a día de hoy, las que han mostrado mejores prestaciones son las baterías de ion Litio.

Para simular y mejorar el comportamiento (ciclos de carga y descarga, identificación de parámetros y control) de una batería una posibilidad consiste en utilizar modelos matemáticos de ecuaciones en derivadas parciales cuya solución normalmente debe ser aproximada mediante métodos numéricos.

Sin embargo, para que este tipo de modelos matemáticos den una respuesta en un tiempo razonable al estudio que se plantee deben cumplir varios requisitos. Por un lado el modelo matemático debe elegirse para que represente la realidad adecuadamente. Por otro lado, se debe estudiar qué tipo de métodos numéricos se utilizan para aproximar el conjunto de ecuaciones diferenciales con un grado de precisión alto. Finalmente la implementación del método elegido debe hacerse de la forma más eficiente posible.

En este trabajo el alumno estudiará los modelos matemáticos más utilizados en la simulación del comportamiento de las baterías de ion de Litio así como el modelo desarrollado en el departamento basado en el método de elementos finitos. Además, completará la migración del código al lenguaje de programación C, que ofrece tiempos de ejecución menores y permite llevar a cabo cálculos con modelos más complejos y realistas (caso 2D/3D). Las simulaciones de las que se encargará el estudiante se llevarán a cabo en un servidor remoto GNU/Linux a disposición del Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial.

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