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Breve Resumen

Los modelos matemáticos se han convertido en una herramienta imprescible para entender la dinámica de las enfermedades, como ha puesto de manifiesto la epidemia del Covid 19. En la inmensa mayoría de los trabajos en este campo se supone que el tiempo es continuo, con lo que el modelo resultante es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, y son relativamente pocos los trabajos en los que se consideran modelos en tiempo discreto, representados por ecuaciones en diferencias no lineales. Sin embargo, el hecho de que la toma de datos tenga lugar de manera discreta justifica (entre otras razones) el uso de modelos en tiempo discreto.

En este trabajo se plantearán distintos modelos epidémicos en tiempo discreto, se llevará a cabo su estudio analítico hasta donde sea posible, y se simularán con el ordenador para analizar su comportamiento. En particular se considerarán distintos modelos para el estudio de la Covid 19 y se hará uso de datos reales de la epidemia en España para llevar a cabo el ajuste de parámetros y para obtener conclusiones que puedan ser útiles para el futuro sobre distintos aspectos entre los cuales está el efecto de las medidas de control sobre la epidemia.

Se adjuntan como ejemplo tres TFGs realizados por alumnos de la ETSII en el campo de la modelización matemática en epidemiología.

Tutores

• Luis Sanz (luis.sanz@upm.es)

Características

Plazo de presentación de solicitudes: Hasta el 31 de enero de 2022 inclusive.

Más información: http://www.upm.es/Estudiantes/BecasAyudasPremios/Becas/BecasColaboracionUPM

Breve Resumen

Las baterías para el almacenamiento de energía eléctrica están presentes en gran cantidad de dispositivos de nuestro día a día. Hay distintos tipos de baterías pero, a día de hoy, las que han mostrado mejores prestaciones son las baterías de ion Litio.

Para simular y mejorar el comportamiento (ciclos de carga y descarga, identicación de parámetros y control) de una batería una posibilidad consiste en utilizar modelos matemáticos de ecuaciones en derivadas parciales cuya solución normalmente debe ser aproximada mediante métodos numéricos.

Sin embargo, para que este tipo de modelos matemáticos den una respuesta en un tiempo razonable al estudio que se plantee deben cumplir varios requisitos. Por un lado el modelo matemático debe elegirse para que represente la realidad adecuadamente. Por otro lado, se debe estudiar qué tipo de métodos numéricos se utilizan para aproximar el conjunto de ecuaciones diferenciales con un grado de precisión alto. Finalmente la implementación del método elegido debe hacerse de la forma más eficiente posible.

En este trabajo el alumno estudiará los modelos matemáticos más utilizados en la simulación del comportamiento de las baterías de ion de Litio así como el modelo desarrollado en el departamento basado en el método de elementos finitos. Además, se centrará en la mejora de los métodos numéricos y su implementación para generar un nuevo código de aplicación en futuros estudios que sirvan para la mejora del diseño de este tipo de baterías, que permitan aumentar el realismo de las mismas (caso 2D/3D) y/o la paralelización de dicho código.

Tutores

• Pedro Galán
• Víctor Muñoz 

Breve Resumen

Asociados a la asignatura de Modelos Matemáticas en Ingeniería Eléctrica se proponen 6 TFGs sobre predicción de demanda de energía eléctrica, predicción de producción de energía solar o predicción de precios de la energía eléctrica. En cualquiera de estos temas se puede tomar un enfoque de modelización de series temporales, un enfoque de modelo guiado por los datos (aprendizaje automático) o una combinación de ambas técnicas. Se adjuntan dos TFGs como orientación de ambos enfoques.

Tutores

• Carlos E. González Guillén

Breve Resumen

El proceso de diseño de nuevas turbinas aeronáuticas precisa de diversos métodos de simulación para poder predecir el comportamiento de cada módulo antes de ser construido. Debido a la complejidad del problema a resolver, se emplean diferentes códigos de resolución dependiendo del módulo del motor, así como del grado de precisión que se quiera obtener. Los códigos aerodinámicos que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes se denominan CFD (Computational Fluid Dynamics) y son muy complejos tanto de implementar como de utilizar. Existen diferentes metodologías de simplificación del problema aerodinámico. La técnica más simple se denomina ecuaciones de línea media, ya que modeliza cada sección de la turbomáquina mediante un solo punto, no apareciendo en la formulación derivadas.

En este trabajo se pretende estudiar las diferentes técnicas de resolución numérica de las ecuaciones de línea media. También se estudiará algunas generalizaciones del problema, como es la inclusión de coeficientes de pérdidas aerodinámicas, o la influencia de la temperatura en el modelo de gas ideal.

Tareas a realizar

• Formulación del problema a resolver: conducto, estator, rotor.
• Estudio de las diferentes estrategias de resolución: iteración en densidad, temperatura o número de Mach.
• Interpretación geométrica del método de resolución.
• Resolución numérica de las ecuaciones.
• Análisis de ventajas y desventajas de los diferentes métodos de resolución.
• Generalización del método numérico: caso no isentrópico y modelo de gas ideal con coeficiente de dilatación adiabática dependiente de la temperatura.

Asignaturas 4º GITI (Matemática Industrial) relacionadas

Modelos matemáticos en Física e ingeniería de la energía

Referencias

1. “Accurate Method to Reproduce Throughflow Results with a Meanline Solver”, J.M. Chaquet, R. Corral, A. Fernández. GT2017-63153, ASME TurboExpo 2017.
2. “Robust Method to Solve Meanline Equations for Choked Flows”, D. Cadrecha, J.M. Chaquet, R. Corral. GT2018-75362, ASME TurboExpo 2018.
3. “Análisis del punto de bloqueo sónico en turbomáquinas axiales mediante modelos de orden reducido”, Ignacio Gutiérrez. UPM ETSII TFG, marzo 2020.

Tutores

• José María Chaquet

A menudo nos preguntamos porque en nuestra vivienda algunas estancias son más cálidas/frescas que otras, o quizás si no son excesivamente grandes/pequeños algunos de los sistemas de calefacción instalados, o si no hubiera sido más eficiente colocarlos en algún otro lugar.

El presente trabajo pretende dar respuesta a este tipo de preguntas. En primer lugar el estudiante planteará un problema de ecuaciones en derivadas parciales que modelice la evolución de la temperatura de una vivienda en distintos escenarios: verano/invierno, número de horas de calefacción al día, elementos y tipos de sistemas de calefacción instalados, etc… Este modelo servirá como punto de partida para estudiar la eficiencia energética del sistema instalado y tendrá como objetivo principal encontrar la configuración óptima desde el punto de vista energético.

Tareas a realizar

• Modelización matemática del problema mediante ecuaciones en derivadas parciales.
• Resolución numérica mediante el método de elementos finitos. Análisis de resultados.
• Estudio de métodos de optimización: método del máximo descenso, algoritmo genético,…
• Estudio de variables a optimizar que entran en juego a la hora de diseñar un sistema de calefacción para una vivienda.
• Diseño óptimo energético del sistema de calefacción de la vivienda.

Profesores

Pedro Galán del Sastre

Existen numerosas aplicaciones dentro del campo de la ingeniería, física y/o medio ambiente en el que aparecen ecuaciones de convección-difusión (transporte de contaminantes, transferencia de calor, finanzas, etc). La correcta resolución de estas ecuaciones es por tanto de suma importancia para dar respuesta a los problemas planteados. En la mayoría de los casos la única alternativa consiste en resolver de forma numérica dichas ecuaciones mediante algún método numérico como puede ser el método de elementos finitos. Sin embargo, a pesar de la versatilidad de este tipo de herramientas, en muchos casos la resolución de estos problemas conlleva unos tiempos de cálculo muy elevados que en muchos casos pueden imposibilitar la correcta resolución del problema, especialmente en casos tridimensionales.

Una posibilidad para intentar reducir los tiempos de cálculo consiste en aplicar el método de descomposición de dominios. Este método consiste en dividir el dominio de la ecuación en subdominios y reformular la ecuación de convección-difusión sobre todo el dominio en subproblemas parcialmente independientes planteados sobre cada subdominio. Por un lado cada subproblema requiere de menos tiempo de cálculo, al plantearse en dominios más pequeños, mientras que por otro lado la independencia de los subproblemas permite resolverlos de forma simultánea. Esto abre la puerta a la implementación del código en paralelo utilizando los modernos procesadores de los que disponemos actualmente en nuestros ordenadores, consiguiendo reducir notablemente el tiempo total de cálculo.

El trabajo por tanto consistirá en el estudio de los distintos métodos de descomposición de dominios más utilizados en la literatura y aplicarlos para resolver problemas de convección-difusión. Para ello se utilizará el método de elementos finitos y se combinará con el método de las características para el tratamiento de los términos convectivos.

Tareas a realizar

• Estudio de problemas de convección-difusión en ingenería, física y medio ambiente.
• Resolución numérica mediante el método de elementos finitos y el método de las características de problemas de convección-difusión. Análisis de resultados.
• Estudio de los métodos de descomposición de dominios.
• Implementación de distintos métodos de descomposición de dominios en problemas parabólicos. Análisis de resultados.
• Implementación de distintos métodos de descomposición de dominios en problemas de convección-difusión. Análisis de resultados.
• Implementación en ordenadores en paralelo de los distintos esquemas estudiados. Comparativa de tiempo de cálculo entre los distintos esquemas de descomposición de dominios y sin descomposición de dominios.
• Aplicación a un caso práctico.

Referencias

1. Akhavan, Y., Liang, D., Chen, M. Second order in time and space corrected explicit–implicit domain decomposition scheme for convection–diffusion equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 357, 38-55, 2019.
2. Dawson, C. N., Du, Q., Dupont, T. F. A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation. Mathematics of Computation, 57(195), 63-71, 1991.
3. Du, Q., Mu, M., Wu, Z. N. Efficient parallel algorithms for parabolic problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 39(5), 1469-1487, 2002.
4. Rivera, W., Zhu, J., Huddleston, D. An efficient parallel Algorithm with Application to Computational Fluid Dynamics. Computers and Mathematics with Applications, 45 (1-3), 165-188, 2003.

Profesores

Pedro Galán del Sastre