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El grupo de trenzas

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1. Benjamin Bode


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RESUMEN
El grupo de trenzas es un grupo cuyos elementos corresponden a ciertas curvas entrelazadas. Este grupo juega un papel importante en diversos contextos en la topología de dimensiones bajas y admite varias aplicaciones en física.
En este proyecto el/la estudiante aprenderá la definición y propiedades básicas de este grupo. Dependiendo de sus intereses, la atención puede centrarse más en propiedades algebraicas, los resultados topológicos o las aplicaciones.

Teoría de aproximación

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1. Bernardo de la Calle Ysern

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RESUMEN

La teoría de aproximación trata de cómo aproximar funciones de naturaleza compleja por otras más sencillas. Temas recurrentes son: dominio de convergencia, velocidad de convergencia, error cometido y qué relación hay entre las propiedades de las funciones que aproximan y las aproximadas. Esta teoría engloba campos muy diversos, por lo que conviene detallar algo más en qué temas se podría centrar el TFG. Posibles diferentes líneas de trabajo serían:
• Aproximantes de Padé: constituyen una generalización de las series de Taylor. Son funciones racionales que aproximan funciones holomorfas. Poseen una teoría de convergencia más rica que la de las series de Taylor, en el sentido de que existen funciones holomorfas cuyas aproximantes de Padé convergen en un dominio más grande que el de la correspondiente serie de Taylor.
• Propiedades finas de las series de Taylor. Valores frontera y teoría de Ostrowski de sobreconvergencia: aquellas subsucesiones que convergen muy rápido lo hacen más allá del disco de convergencia de la serie. Este fenómeno está conectado con la existencia de sumandos nulos en el desarrollo de Taylor.
• Fracciones continuas. Constituyen en cierto sentido la mejor aproximación racional a un número. Tienen multitud de aplicaciones, en particular a la resolución de ecuaciones diofánticas. Existe una teoría moderna relacionada con el análisis real: constante de Khinchin. También admiten un TFG centrado total o parcialmente en su desarrollo histórico.

Fórmulas de cuadratura

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1. Bernardo de la Calle Ysern

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RESUMEN

Las fórmulas de cuadratura son sumas finitas que aproximan el valor de la integral de una función f sobre un intervalo real; es decir, son fórmulas de integración numérica construidas a partir de los valores de f en ciertos puntos llamados nodos multiplicados por ciertos coeficientes: los pesos de la cuadratura. De entre todas las alternativas posibles se eligen aquellas fórmulas con buenas propiedades: convergencia al valor de la integral cuando el número de nodos tiende a infinito para una clase amplia de funciones, estabilidad del método (pesos positivos), etc.
El TFG propone estudiar fórmulas de cuadratura distinguidas por su comportamiento óptimo y que presentan alguna característica añadida interesante, tal como reflejar el carácter periódico de la función —si ese fuera el caso— o poder calcular no solo un valor aproximado de la integral, sino una estimación del error cometido. Si bien el TFG tiene una aplicación numérica obvia, el estudio es fundamentalmente teórico con herramientas propias del análisis.

Teoría del grado

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RESUMEN

El grado de una función real f mide el número de soluciones con signo de la ecuación f(x)=y. Esta definición puede hacerse rigurosa partiendo del caso más sencillo de las funciones derivables reales hasta llegar, por ejemplo, a funciones continuas definidas entre variedades compactas orientables. El grado es un número entero que nos dice el número de veces que el dominio de una función se aplica sobre la imagen. Sirve para llegar a probar (de una manera más directa que con la teoría de homología) teoremas profundos de naturaleza topológica, tales como el del punto fijo de Brower o el teorema de la invariancia del dominio. Admite varias generalizaciones con aplicaciones a la teoría de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales. El TFG presenta una combinación de herramientas de análisis y topología.

Fórmula de la coárea

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1. Bernardo de la Calle Ysern

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RESUMEN

La fórmula de la coárea es una fórmula correspondiente a la teoría de integración de Lebesgue que generaliza el teorema de Fubini y que permite calcular la integral de una función descomponiéndola en los conjuntos de nivel de otra función. Existen versiones de la fórmula para abiertos del espacio real n-dimensional —donde se descubrió inicialmente— y para variedades, así como para funciones en el integrando con diferentes niveles de regularidad. El TFG implica adquirir un conocimiento profundo de algunas técnicas y conceptos del análisis real; como, por ejemplo, la definición y propiedades de las medidas de Hausdorff.

Formas diferenciales

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1. Bernardo de la Calle Ysern

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Las formas diferenciales constituyen una poderosa herramienta proveniente del álgebra multilineal (comparten muchas propiedades con los determinantes) que tiene múltiples aplicaciones en diversas ramas del análisis, la topología, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Son una generalización de conceptos previos del cálculo vectorial, como la divergencia y el rotacional. Dada la gran variedad de aplicaciones, el TFG puede optar por diferentes enfoques de estudio. Algunos de ellos pueden ser: (1) el teorema de Stokes generalizado y la cohomología de De Rham, (2) conceptos de geometría diferencial basados en formas, y (3) el teorema de Frobenius sobre integrabilidad de campos de direcciones tangentes, el cual representa una generalización del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales.

Teoría del potencial en el plano complejo

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1. Bernardo de la Calle Ysern

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Este TFG tiene como objeto de estudio las funciones armónicas y sus propiedades en el plano complejo. En particular, se estudia el problema de Dirichlet, la capacidad logarítmica o armónica de un conjunto (los conjuntos de capacidad nula son los conjuntos que son demasiado pequeños para ser percibidos por las funciones armónicas, de modo análogo a lo que representan los conjuntos de medida nula en la teoría de integración de Lebesgue), y la equivalencia entre el diámetro transfinito de un compacto K (que proporciona una medida del tamaño de K), su capacidad y la constante de Chebychev del conjunto (que da una estimación de cómo de grande puede ser la norma de un polinomio definido sobre K). Este TFG presenta una combinación muy atractiva de técnicas de variable compleja y análisis real.

Integral de caminos en variedades Riemannianas

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Juan Carlos Sampedro Pascual

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RESUMEN
El campo de la teoría de integración en dimensión infinita tiene gran relevancia según sus conexiones con la Teoría Cuántica de Campos, donde la célebre integral de caminos introducida por R. Feynman sigue siendo hoy en día un objeto matemático poco comprendido, pero esencial para el desarrollo de los cálculos experimentales que se llevan a cabo en los colisionadores de partículas. Como sugiere la entrada de nLab dedicada a la integral de caminos,

Nuestra es la era cuya cuestión central de física teórica fundamental es: ¿Qué es la teoría cuántica de campos?
Una pregunta estrechamente relacionada es: ¿Qué es la integral de caminos?

En 1999, Andersson y Driver [1] consiguieron reducir el cálculo de las integrales de caminos en variedades Riemannianas de funcionales continuos y acotados a un límite de integrales finito- dimensionales. Estas aproximaciones se asemejan a las fórmulas informales utilizadas en física que motivan la definición de Feynman. En esta propuesta se pretende estudiar el artículo de Andersson y Driver [1], comprenderlo y escribirlo de forma clara y entendible para cualquier alumno de grado. Si el alumno mostrase destrezas adicionales, se intentará abordar la generalización de los resultados de [1] realizadas por el autor de esta propuesta en [2].

[1] L. Andersson, B.K. Driver, Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds, J. Funct. Anal. 165 (2) (1999) 430–498.
[2] J.C. Sampedro, Approximation Schemes for Path Integration on Riemannian Mani- folds, J. Math. Anal. Appl. 512, Issue 2 (2022).

Simulaciones Estructurales de Materiales Ortotrópicos

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1. José Mª Chaquet Ulldemolins
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Un material ortotrópico es aquel que presenta propiedades diferentes según la dirección de medida, siendo las direcciones principales ortogonales. En este trabajo se aplicará el método de elementos finitos para resolver el problema del sólido elástico constituido por un material ortotrópico. Los resultados se compararán con un sólido isótropo equivalente. Si bien el estudio se limitará a geometrías bidimensionales, se resolverán problemas tanto estacionarios como no estacionarios. Estos últimos tanto en el dominio del tiempo como de la frecuencia (análisis modal). También se estudiará el efecto de disponer el material con una orientación invariable a lo largo de la geometría, o con una disposición dependiente de la posición.

Simulaciones Térmicas y Elásticas Mediante el Método de Elementos Finitos y Polinomios de Hermite

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La base funcional elegida para resolver mediante el método de elementos finitos los diferentes problemas físicos tiene especial importancia en el grado de precisión obtenido. Esta influencia aumenta aún más cuando se calculan los gradientes de campos solución, como por ejemplo al calcular el tensor de esfuerzos a partir de las deformaciones de un sólido elástico. En este trabajo se implementará un método de resolución basado en polinomios de Hermite y se comparará la precisión y el coste computacional con métodos clásicos usando elementos lineales o cuadráticos. El estudio se centrará tanto en problemas unidimensionales como bidimensionales.