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A menudo nos preguntamos porque en nuestra vivienda algunas estancias son más cálidas/frescas que otras, o quizás si no son excesivamente grandes/pequeños algunos de los sistemas de calefacción instalados, o si no hubiera sido más eficiente colocarlos en algún otro lugar.

El presente trabajo pretende dar respuesta a este tipo de preguntas. En primer lugar el estudiante planteará un problema de ecuaciones en derivadas parciales que modelice la evolución de la temperatura de una vivienda en distintos escenarios: verano/invierno, número de horas de calefacción al día, elementos y tipos de sistemas de calefacción instalados, etc… Este modelo servirá como punto de partida para estudiar la eficiencia energética del sistema instalado y tendrá como objetivo principal encontrar la configuración óptima desde el punto de vista energético.

Tareas a realizar

• Modelización matemática del problema mediante ecuaciones en derivadas parciales.
• Resolución numérica mediante el método de elementos finitos. Análisis de resultados.
• Estudio de métodos de optimización: método del máximo descenso, algoritmo genético,…
• Estudio de variables a optimizar que entran en juego a la hora de diseñar un sistema de calefacción para una vivienda.
• Diseño óptimo energético del sistema de calefacción de la vivienda.

Profesores

Pedro Galán del Sastre

Existen numerosas aplicaciones dentro del campo de la ingeniería, física y/o medio ambiente en el que aparecen ecuaciones de convección-difusión (transporte de contaminantes, transferencia de calor, finanzas, etc). La correcta resolución de estas ecuaciones es por tanto de suma importancia para dar respuesta a los problemas planteados. En la mayoría de los casos la única alternativa consiste en resolver de forma numérica dichas ecuaciones mediante algún método numérico como puede ser el método de elementos finitos. Sin embargo, a pesar de la versatilidad de este tipo de herramientas, en muchos casos la resolución de estos problemas conlleva unos tiempos de cálculo muy elevados que en muchos casos pueden imposibilitar la correcta resolución del problema, especialmente en casos tridimensionales.

Una posibilidad para intentar reducir los tiempos de cálculo consiste en aplicar el método de descomposición de dominios. Este método consiste en dividir el dominio de la ecuación en subdominios y reformular la ecuación de convección-difusión sobre todo el dominio en subproblemas parcialmente independientes planteados sobre cada subdominio. Por un lado cada subproblema requiere de menos tiempo de cálculo, al plantearse en dominios más pequeños, mientras que por otro lado la independencia de los subproblemas permite resolverlos de forma simultánea. Esto abre la puerta a la implementación del código en paralelo utilizando los modernos procesadores de los que disponemos actualmente en nuestros ordenadores, consiguiendo reducir notablemente el tiempo total de cálculo.

El trabajo por tanto consistirá en el estudio de los distintos métodos de descomposición de dominios más utilizados en la literatura y aplicarlos para resolver problemas de convección-difusión. Para ello se utilizará el método de elementos finitos y se combinará con el método de las características para el tratamiento de los términos convectivos.

Tareas a realizar

• Estudio de problemas de convección-difusión en ingenería, física y medio ambiente.
• Resolución numérica mediante el método de elementos finitos y el método de las características de problemas de convección-difusión. Análisis de resultados.
• Estudio de los métodos de descomposición de dominios.
• Implementación de distintos métodos de descomposición de dominios en problemas parabólicos. Análisis de resultados.
• Implementación de distintos métodos de descomposición de dominios en problemas de convección-difusión. Análisis de resultados.
• Implementación en ordenadores en paralelo de los distintos esquemas estudiados. Comparativa de tiempo de cálculo entre los distintos esquemas de descomposición de dominios y sin descomposición de dominios.
• Aplicación a un caso práctico.

Referencias

1. Akhavan, Y., Liang, D., Chen, M. Second order in time and space corrected explicit–implicit domain decomposition scheme for convection–diffusion equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 357, 38-55, 2019.
2. Dawson, C. N., Du, Q., Dupont, T. F. A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation. Mathematics of Computation, 57(195), 63-71, 1991.
3. Du, Q., Mu, M., Wu, Z. N. Efficient parallel algorithms for parabolic problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 39(5), 1469-1487, 2002.
4. Rivera, W., Zhu, J., Huddleston, D. An efficient parallel Algorithm with Application to Computational Fluid Dynamics. Computers and Mathematics with Applications, 45 (1-3), 165-188, 2003.

Profesores

Pedro Galán del Sastre