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La topología de una rama plana

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NOMBRE Y APELLIDOS DE LOS TUTORES/AS (añádanse tantas filas como tutores/as haya)

1. Pablo Portilla Cuadrado

e-mail de contacto para el alumnado interesado: p.portilla@upm.es


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RESUMEN El trabajo se centra en el estudio de las singularidades irreducibles de curvas planas, con un enfoque específico en el concepto de «link» asociado a estas singularidades. Una singularidad irreducible en una curva plana es un punto de la curva donde esta no es suave y no puede ser descompuesta en componentes más simples. Estas singularidades son de gran interés en la geometría algebraica y la teoría de singularidades debido a su complejidad y las ricas estructuras matemáticas que presentan.

El «link» de una singularidad se refiere al conjunto topológico que se obtiene al intersectar la curva con una esfera pequeña centrada en la singularidad. Este link captura información esencial sobre la naturaleza de la singularidad y permite clasificar y entender mejor las propiedades locales de la curva en ese punto.

En el trabajo se abordará la clasificación de estos links y su relación con las propiedades algebraicas y geométricas de las curvas. Se exploran métodos para calcular y visualizar estos links. Además, se discuten aplicaciones relevantes en otras áreas de las matemáticas y posibles extensiones del estudio a singularidades más generales.

Modelos avanzados de transistores de grafeno para electrónica de alta frecuencia

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NOMBRE Y APELLIDOS DE LOS TUTORES/AS (añádanse tantas filas como tutores/as haya)

1. Pedro C. Feijoo Guerro
2.

e-mail de contacto para el alumnado interesado: pc.feijoo@upm.es

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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)

Los transistores de grafeno prometen revolucionar la electrónica de alta frecuencia debido a sus excepcionales propiedades. Este trabajo de fin de grado se enfocará en un estudio detallado de los modelos de transistores de grafeno utilizados en simuladores de circuitos. El objetivo principal es desarrollar modelos avanzados que incorporen movilidades diferentes para electrones y huecos, una característica que los modelos actuales no contemplan a pesar de las abundantes pruebas experimentales que la respaldan.
Este trabajo consiste en una introducción al modelado matemático de dispositivos electrónicos. Las herramientas principales utilizadas son ecuaciones diferenciales ordinarias y sus técnicas de resolución numérica.

Modelo de transistor de telureno (teluro bidimiensional)

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1. Pedro C. Feijoo Guerro
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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)
El telureno, un novedoso material bidimensional que consisten en una fina capa de teluro, muestra un gran potencial en aplicaciones avanzadas debido a sus excepcionales propiedades electrónicas y optoelectrónicas. Este trabajo de fin de grado se centra en el desarrollo de un modelo matemático para transistores de telureno.
El objetivo principal de este proyecto es desarrollar y simular un modelo matemático que describa con precisión el comportamiento de los transistores de telureno. Para lograr esto, se implementará un modelo autoconsistente que combine dos ecuaciones acopladas fundamentales:
1. Ecuación de Poisson: Esta ecuación se utilizará para describir la distribución electrostática dentro del dispositivo. Se resolverá mediante el método de diferencias finitas, una técnica numérica que permite aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales parciales en mallas discretas.
2. Ecuación de la Continuidad de la Corriente: Esta ecuación es crucial para modelar el transporte de carga en el transistor de telureno. Se resolverá utilizando métodos numéricos avanzados para ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), asegurando una representación precisa del flujo de corriente en el dispositivo.

La búsqueda de estructuras lineales de los monstruos de Weierstrass

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1. Daniel Luis Rodríguez Vidanes

e-mail de contacto para el alumnado interesado: dl.rodriguez.vidanes@upm.es


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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)

En 1872, Weierstrass presentó una función real continua pero no derivable en ningún punto, conocida como el monstruo de Weierstrass, sorprendiendo a la comunidad matemática. Aunque el conjunto de las funciones reales continuas pero no derivables en ningún punto no forma un espacio vectorial, en 1966 Gurariy demostró que este conjunto (incluyendo la función 0) contiene un espacio vectorial infinito dimensional. Este descubrimiento resalta su gran tamaño tanto en cardinalidad como en estructuras algebraicas.

Desde entonces, se han mejorado los resultados de Gurariy considerando propiedades topológicas de estos espacios vectoriales. En 2005, Aron, Seoane-Sepúlveda y Gurariy introdujeron el campo de la lineabilidad: la búsqueda de la linealidad en conjuntos no lineales. Este campo ha generado numerosas publicaciones en áreas como Teoría de Números, Análisis Real, Análisis Complejo, Análisis Funcional, Sistemas Dinámicos, Teoría de Conjuntos, Teoría del Caos, Álgebra Lineal, entre otros.

El objetivo de este trabajo de fin de grado es introducir al alumno a los conceptos básicos de la lineabilidad y las técnicas para estudiar espacios vectoriales relacionados con los monstruos de Weierstrass.

Raíces de polinomios.

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1. Ana Soledad Meroño Moreono
2. Pablo Gómez Mourelo

e-mail de contacto para el alumnado interesado: anasoledad.merono@upm.es, pablo.gomez.mourelo@upm.es


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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)
En análisis numérico, el cálculo de las raíces de multiplicidad elevada de un polinomio se considera normalmente un problema mal condicionado. Sin embrago, se puede recondicionar el problema extrayendo la información de la multiplicidad calculando el m’máximo común divisor, según los trabajos de Zhonggang Zeng.

Biligrafía
[1] Z. Zeng, A method for computing multiple roots of inext polynomials, J.R Sendra ed. Porceedings of the 2003 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 266-272, ACM 2003.
[2] Z. Zeng, Computing multiple roots of inexact polynomial algebra Math. Comp. 74 (2005) 869-903.
[3] Z. Zeng, The tale of Polynomials , https://www.slideserve.com/luke/the-tale-of-polynomials.
[4] C. Moler, Pejorative Manifolds of Polynomials and Matrices, https://blogs.mathworks.com/cleve/2020/01/18/pejorativemanifolds-
of-polynomials-and-matrices-part-1/ .

Estabilidad de la Eliminación Gaussiana

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1. Ana Soledad Meroño Moreono
2. Pablo Gómez Mourelo

e-mail de contacto para el alumnado interesado: anasoledad.merono@upm.es, pablo.gomez.mourelo@upm.es


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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)
La eliminación Gaussiana es uno de los métodos numéricos nucleares en ingeniería. La estabilidad numérica de este procedimiento es relevante no s´olo de forma te´orica sino también en la resolución práctica de problemas
reales. En concreto se considera que este procedimiento es estable a pesar de que se conoce su inestabilidad “explosiva” para determinado tipo de matrices. En este trbajo se aborda de forma estadística este cuestión.

Bibliografia
[1] L. Trefethen, D, Bau III , Numerical Linear ´ Algebra , Lecture 22, Siam 1997.

Resolución de deformaciones plásticas mediante el método de elementos finitos

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1. Pedro Galán del Sastre
2. José María Chaquet Ulldemolins

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RESUMEN

El problema de elasticidad consiste en obtener las deformaciones y tensiones de un sólido sometido a ciertas cargas mecánicas. Cuando las solicitaciones mecánicas desaparecen, el sólido recupera su geometría original. Cuando las cargas aplicadas superan un determinado umbral llamado límite elástico, el sólido sufre deformaciones permanentes. Este trabajo desarrollará varios algoritmos basados en el método de elementos finitos para resolver el problema plástico en distintas geometrías del ámbito industrial.

Resolución numérica de problemas de transmisión de calor con propiedades de material altamente no lineales

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1. Pedro Galán del Sastre
2. Manuel Colera Rico

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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)

Los sellos de las turbinas son elementos fundamentales para la eficiencia de los motores en la industria de la aviación. Dichos elementos son los encargados de controlar la fuga de gases en las turbina, y por tanto están sometidos a altas temperaturas que pueden incluso dar lugar a pérdida de material a través de la fusión.

Si bien el estudio de este proceso es muy complicado, en este trabajo se trabajará con un modelo simplificado transmisión de calor en el que la pérdida de material se simula mediante una no linealidad en las propiedades del material.

En el trabajo se estudiarán distintos esquemas numéricos mediante el método de elementos finitos combinados con discretizaciones temporales que podrán ser tanto implícitas como explícitas y se estudiarán las ventajas e inconvenientes de cada esquema en este tipo de problemas.

Trabajos fin de grado relacionados con el análisis de ecuaciones diferenciales

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1. Andrea Tellini

e-mail de contacto para el alumnado interesado: andrea.tellini@upm.es


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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)

El objetivo de estos TFGs es ampliar el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales (ordinarias o en derivadas parciales) respecto a los temas vistos en las distintas asignaturas del grado. Algunos ejemplos pueden ser: métodos topológicos, técnicas para el estudio cualitativo, enfoque de sistemas dinámicos, EDPs en dinámica de poblaciones, …

En función de los intereses de la/del estudiante, se podrán analizar distintas técnicas teóricas y/o complementar la parte teórica con simulaciones numéricas, consideraciones de modelización, etc.

Estudio del comportamiento de la Transformada Discreta del Seno (tipo 1 par) en aplicaciones de reconstrucción de señales por muestreo comprimido

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1. María Elena Domínguez Jiménez
2.

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RESUMEN (se recomienda utilizar solamente el espacio disponible en esta página)

En los últimos años, la técnica del muestreo comprimido se ha convertido en una herramienta muy útil, pues reconstruye señales digitales a partir de pocos datos. De esta forma, la reconstrucción de señales unidimensionales (por ejemplo, señales de audio) o bidimensionales (imágenes) es posible a partir de un conjunto reducido de muestras.
Para que la reconstrucción sea perfecta, la señal debe ser dispersa (es decir, poseer muchas componentes nulas) en algún dominio transformado. En numerosas aplicaciones, se ha utilizado la Transformada Discreta de Fourier (DFT), dando lugar a reconstruir señales dispersas en frecuencia. En recientes investigaciones se han propuesto las Transformadas Discretas del Coseno (DCTs). En este Trabajo se propone investigar el comportamiento de una de las Transformadas Discretas del Seno, la llamada 1-par (DST1e, de las siglas en inglés “Discrete Sine Transform type-1 Even”).
Para que los algoritmos de reconstrucción sean eficaces, es necesario probar que la matriz de la DST1e cumpla unas ciertas propiedades matemáticas (K-rango máximo, RIC mínima). Así pues, en este Trabajo se estudiarán experimentalmente los valores de estas propiedades para la DST1e y se realizarán simulaciones con ella para observar su comportamiento para conseguir reconstrucción de señales a partir de pocos datos. En concreto, se aplicarán a señales unidimensionales de audio y bidimensionales como imágenes.