Sobre el océano

Nota al lector: El presente texto representa únicamente una pequeña reflexión personal sobre la materia. En ningún momento pretende ser un texto científico con rigor, tan sólo unas pequeñas notas a título informativo para aquel a quien pueda interesar.

¿Y las matemáticas qué?

Llegados a este punto, esa sería la pregunta que podríamos hacernos: ¿y las matemáticas qué? La respuesta en realidad es bastante sencilla. Las matemáticas son imprescindibles para estudiar el océano.

Tanto en estudios del océano como en estudios de meteorología, una de las principales variables de estudio, y que posteriormente condicionan todas las demás, es la velocidad del viento (para meteorología) o del agua del océano (para oceanografía) en cada punto del espacio que ocupe nuestro estudio. En realidad conceptualmente no existen grandes diferencias entre el comportamiento del océano y la atmósfera. Ambos se consideran fluidos, y todos los fluidos vienen gobernados por unas ecuaciones matemáticas: las ecuaciones de Navier-Stokes. La diferencia entre unos fluidos y otros reside, principalmente, en la viscosidad de los mismos. Es sencillo e intuitivo pensar en un fluido muy viscoso (por ejemplo, el aceite) o uno que sea muy poco viscoso (casi cualquier gas). En nuestro caso, la diferencia que podría existir entre el océano y la atmósfera se debe a que el agua del océano es un fluido mucho más viscoso que el aire de la atmósfera.

Habría que señalar sin embargo que, si bien todos los fluidos se podrían estudiar de forma similar desde el punto de vista matemático, un fluido poco viscoso presenta serías dificultadas. Para empezar, debido a su naturaleza, los fluidos poco viscosos presentan en su comportamiento gran cantidad de pequeños remolinos o vórtices (que cualquiera de nosotros puede observar en cualquier río, en cualquier esquina de la calle en días de viento, etc...). Cuanto más aparezcan este tipo de estructuras, más complejo de estudiar se vuelve el sistema. Si un fluido presenta demasiados, entonces el fluido presenta un comportamiento caótico, y si este es el caso, su estudio se complica de manera espectacular. El caso de la atmósfera es un ejemplo de fluido que presenta un comportamiento caótico, de ahí que las predicciones meteorológicas que se realizan hoy día tengan una fiabilidad muy baja a partir del tercer día (si bien, es justo decir, que desde hace unos años, las predicciones a 24 y 48 horas tienen un porcentaje de acierto bastante elevado).

Afortunadamente, el océano es un fluido mucho más viscoso que el aire de la atmósfera. Si bien su estructura también se clasifica como caótica por muchos expertos, es justo decir que es mucho menos caótica que fluidos como el de la atmósfera. Una de las simplificaciones más importantes que se suele hacer es considerar que el fluido es incompresible. Esto reduce las ecuaciones de estudio. En concreto, las ecuaciones matemáticas que gobiernan fluidos incompresibles (ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles) son las siguientes: \[ \begin{cases} {\displaystyle \frac{D\vec{u}}{Dt}}-\mbox{div}\left(\nu\nabla\vec{u}\right)=-\nabla p+\vec{f}\\ \mbox{div}\vec{u}=0\\ +CC \end{cases} \] donde

• $\vec{u}=\left(u,v,w\right)$ representa la velocidad del fluido en cada punto del espacio
• $p$ es la presión en cada punto que ocupe el fluido
• $\vec{f}$ son las fuerzas externas
• $\nu$ es el coeficiente de viscosidad del fluido
• ${\displaystyle \frac{D\vec{u}}{Dt}=\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}}$ es la derivada material de la velocidad del fluido (ver más abajo)
• $+CC$ son las condiciones de contorno que se imponen a la región de estudio

Los términos que aparecen en estas ecuaciones tienen un significado físico importante:

• La derivada material ${\displaystyle \frac{D\vec{u}}{Dt}}$ corresponde con la variación a lo largo del tiempo de cualquier región del fluido. Para hacernos una idea, nos daría información de como una región va variando su forma dependiendo del propio movimiento del fluido.
• El término $\mbox{div}\left(\nu\nabla\vec{u}\right)$ representa la viscosidad del fluido, que viene controlada mediante el escalar $\nu$. Cuanto mayor sea este escalar, más viscoso será el fluido, y por tanto, mayor resistencia a fluir presentará.
• En los fluidos intervienen otro tipo de fuerzas que son las denominadas por gradiente de presión, $\nabla p$. Éstas son las responsables de que el fluido se mueva hacia regiones donde la presión sea más baja, buscando así un estado de reposo.
• Las fuerzas externas que vienen representadas por $\vec{f}$ pueden ser de muchos tipo. Valga como ejemplo de fuerza externa la fuerza de gravedad.
• La condición de divergencia nula, $\mbox{div}\vec{u}=0$, se obtiene de la hipótesis de incompresibilidad del fluido. Físicamente expresa que las deformaciones que puedan presentar distintas regiones del fluido, nunca pierden ni ganan volumen, sólo modifican su forma.

Además hay que añadir que cualquier modelo de ecuaciones matemáticas debe ser estudiado en una región del espacio (o del plano, si el modelo es bidimensional). De esta forma, y para ser matemáticamente correctos, debemos señalar explícitamente cuál es el dominio (región) de validez. Para que además podamos resolver el modelo, también es necesario conocer como se comporta el fluido que queramos estudiar en la frontera del dominio. Veamos un ejemplo para entender esto último, con el denominado problema de la cavidad, uno de los más estudiados desde el punto de vista matemático.

En el problema de la cavidad se pretende estudiar un fluido líquido dentro de una cavidad similar a la de la figura. Como se observa, se supone que tenemos un fluido moviéndose de izquierda a derecha en una canal homogéneo, el cual presenta una pequeña hendidura o cavidad cuadrada. Si pretendemos saber que ocurre, cómo se mueve el fluido dentro de esta cavidad, tenemos que resolver las ecuaciones de Navier-Stokes dentro de este recinto o dominio.

Una de las simplificaciones que se suele hacer para estudiar este modelo concreto es suponer que el fluido tiene una estructura bidimensional. De esta forma, las ecuaciones de Navier-Stokes se plantean sobre un conjunto del plano que represente un cuadrado, normalmente el conjunto que se suele tomar es $\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]$, el cuadrado unidad.

Para completar el estudio, y como ya comenté antes, también es necesario decir al modelo como se comporta el fluido en la frontera del dominio (la región de estudio). En este caso concreto, tenemos que saber como se mueve el fluido en la parte superior, inferior y los laterales del cuadrado. Si uno analiza un poco lo que está ocurriendo en este ejemplo, es fácil darse cuenta de que el fluido está en reposo en las paredes laterales e inferior del cuadrado, mientras que en la parte superior del mismo el fluido se mueve de izquierda a derecha, empujado por lo que ocurre en el resto del canal.

Resumiendo, si queremos describir de forma completa el estudio de este problema, debemos indicar todo lo comentado. El resultado sería que tendríamos que resolver el siguiente conjunto de ecuaciones: \[ \begin{cases} {\displaystyle \frac{D\vec{u}}{Dt}}-\nu\Delta\vec{u}=-\nabla p, & \mbox{ en }\Omega\\ \mbox{div}\vec{u}=0, & \mbox{ en }\Omega\\ \vec{u}=0, & \mbox{ en }\Gamma_{1}\cup\Gamma_{2}\cup\Gamma_{3}\\ \vec{u}=\left(u,v\right)=\left(1,0\right), & \mbox{ en }\Gamma_{0} \end{cases} \] con $\Omega=\left(0,1\right)\times\left(0,1\right)$ y por tanto $\Gamma_{0}=\left(0,1\right)\times\left\{ 1\right\} $, $\Gamma_{1}=\left\{ 0\right\} \times\left(0,1\right)$, $\Gamma_{2}=\left(0,1\right)\times\left\{ 0\right\} $, $\Gamma_{3}=\left\{ 1\right\} \times\left(0,1\right)$.

A continuación muestro algunas soluciones que se pueden obtener resolviendo numéricamente estas ecuaciones para distintas viscosidades (representados por el número de Reynolds, Re; cuanto mayor es, menor es la viscosidad):

Sin entrar mucho en detalle sobre la resolución numérica de este problema (y que en cierto modo es análogo a lo que comentaré a continuación para modelos de oceanografía), me gustaría señalar que las soluciones que se obtienen presentan mayor número de vórtices o remolinos cuanto menor es la viscosidad del fluido, tal y como nuestra intuición prevé que pasaría en la realidad.