The Gross-Pitaevskii equation is a nonlinear Schrödinger equation that models the behavior of a Bose-Einstein condensate. The quantum vortices of the condensate are defined by the zero set of the wave function at time t. In this talk we will present recent work about how these quantum vortices can break and reconnect in arbitrarily complicated ways. As observed in the physics literature, the distance between the vortices near the breakdown time, say t=0, scales like the square root of t: it is the so-called t^1/2 law. At the heart of the proof lies a remarkable global approximation property for the linear Schrödinger equation whose proof crucially uses the properties of Bessel functions. The talk is based on joint work with Daniel Peralta-Salas.

Un tema recurrente en Matemáticas, uno con aspectos conceptuales y prácticos, es la relación entre las dos palabras del título.

Ejemplos de esto aparecen en áreas como análisis numérico, procesamiento de señales, geometría y topología, y muchas otras.

En esta charla me concentraré en unos pocos ejemplos:

1. Yendo de una caminata clásica a una cuántica.
2. Una larga noche en el casino.

We show that to any cubic equation from a special class (a "spectral curve") it corresponds a unique vector-valued measure with three components on the complex plane, characterized as a solution of a variational problem stated in terms of their logarithmic energy. We describe all possible geometries of the supports of these measures: the third component, if non-trivial, lives on a contour on the plane and separates the supports of the other two measures, both on the real line.

This general result is applied to the hermitian random matrix model with external source and general polynomial potential, when the source has two distinct eigenvalues but is otherwise arbitrary. We prove that under some additional assumptions any limiting zero distribution for the average characteristic polynomial can be written in terms of a solution of a spectral curve. Thus, any such limiting measure admits the above mentioned variational description. As a consequence of our analysis we obtain that the density of this limiting measure can have only a handful of local behaviors: Sine, Airy and their higher order type behavior, Pearcey or yet the fifth power of the cubic (but no higher order cubics can appear).

We also compare our findings with the most general results available in the literature, showing that once an additional symmetry is imposed, our vector critical measure contains enough information to recover the solutions to the constrained equilibrium problem that was known to describe the limiting eigenvalue distribution in this symmetric situation.

This is a joint work with Guilherme Silva (U. Sao Carlos, Brazil).

The best approximation (in uniform or Chebyshev norm) of a continuous function f(x) by polynomials of degree ≤n in a certain interval of the real axis is a classical problem in Approximation Theory. In particular, it is very interesting the case of the absolute value function, as one of the simplest non-polynomial functions, which has been investigated by such outstanding mathematicians as S. N. Bernstein, among others. More in general, the "Checkmark" function, namely:

           f_α(x) = |x-α|, x∊[-1,1],

has been also considered. In this talk we study, for a fixed n, the so-called minimax error,

           E_n (f_α) = min_p∊Pn ||f_α - p|| _[-1,1]

as the parameter α varies in [-1,1].

This is joint work with Peter Dragnev and Alan Legg, from Purdue Univ. at Fort Wayne (PFW), IN, USA.

Se estudia existencia y unicidad del elemento de mejor aproximación en espacios normados de Sobolev W^m,p(μ) para p≥1. Una caracterización de dicho elemento es hallada en términos de un operador lineal el cual coincide con el producto interior para el caso p=2.

En 1993, Shub y Smale plantearon el problema de encontrar una secuencia de polinomios P_N, con grado(P_N)=N, tal que el condicionamiento (una cantidad relacionada con la estabilidad del cálculo de soluciones) de P_N fuese menor o igual que N. Tal secuencia ha sido recientemente encontrada por Beltrán, Etayo, Marzo y Ortega-Cerdà, obteniendo un condicionamiento de C√N para P_N, con C una constante desconocida. En esta charla, describiré los pasos que estamos realizando para calcular de forma concreta la constante C y dar así una respuesta al problema de Shub y Smale con un valor completamente explícito.

Trabajo conjunto con Carlos Beltrán.

El lema de Watson proporciona un desarrollo asintótico de transformadas de Laplace, válido para valores grandes del parámetro de transformación z. Es una herramienta muy útil en la aproximación asintótica de funciones especiales que admiten una representación integral en la forma de transformada de Laplace de una cierta función f(t). Sin embargo, en la mayoría de los ejemplos importantes de funciones especiales, el desarrollo obtenido al aplicar el lema de Watson es no convergente. Esencialmente, esto ocurre porque el desarrollo de Taylor de la función f(t) en el punto asintóticamente relevante t=0 no converge lo suficientemente rápido en todo el intervalo de integración [0,∞). En esta charla, investigamos una modificación del lema de Watson que transforma el intervalo de integración [0,∞) de la transformada de Laplace en el intervalo acotado (0,1]. Un análisis asintótico elemental muestra que el punto asintóticamente relevante de la nueva integral es u=1 y un desarrollo del integrando entorno a este punto proporciona un desarrollo asintótico de la integral para z grande. Pero más aún, un análisis del resto de esta nueva aproximación muestra que el desarrollo es convergente bajo una leve condición sobre la función f(t), que se cumple en muchas situaciones prácticas (en muchos ejemplos de funciones especiales). Ilustramos esta modificación del lema de Watson con diversos ejemplos de funciones especiales, obteniendo desarrollos asintóticos y convergentes de estas funciones.

Trabajo conjunto con José L. López y Pedro J. Pagola.

Las desigualdades teórico-informacionales tales como la desigualdad de Stam, la desigualdad de Crámer-Rao o la de entropía-momento juegan un importante rol en distintas áreas científicas y tecnológicas, como entre otras en Teoría de la Estimación. En este trabajo se presenta una metodología que permite la generalización de las mencionadas desigualdades para densidades de probabilidad monovaluadas, la obtención de la cota mínima y de expresiones explícitas para las densidades minimizantes, las cuales pueden ser expresadas utilizando las llamadas funciones trigonométricas generalizadas. Más aún, en el caso de la desigualdad de Stam, dicha metodología permite su generalización más allá del rango de validez que se obtendría a partir de las desigualdades de Gagliardo-Nirenberg. Todo ello es llevado a cabo utilizando las recientemente introducidas transformaciones "differential-escort". Algunas de las propiedades fundamentales de este tipo de transformaciones serán discutidas. La extensión de este trabajo al caso multivaluado está siendo abordado actualmente.

Muchos casos de ecuaciones de Painlevé discretas aparecen en el estudio de los coeficientes de las relaciones de recurrencia que satisfacen ciertos polinomios ortogonales asociados a pesos semiclásicos. Un primer intento de evaluación de las soluciones de estas ecuaciones podría ser la evaluación directa de la relación de recurrencia no lineal que las define. Sin embargo, se observa en múltiples casos, como puede ser la ecuación discreta alternativa de Painlevé I (alt-dP_I) o la ecuación discreta de Painlevé IV (alt-dP_IV), que dicha evaluación directa, en ambos sentidos de la recurrencia, produce serias inestabilidades para el caso no negativo. No obstante, hay otros casos, como ciertas formas discretas de Painlevé III, que no presentan dicha inestabilidad. Se observa que precisamente las soluciones inestables toman por punto inicial soluciones recesivas de ciertas ecuaciones diferenciales lineales como puede ser el caso de alt-dP_I cuyo punto de partida utiliza las funciones de Airy Ai(x). El interés de nuestra investigación se centra tanto en la explicación del fenómeno de inestabilidad descrito arriba como en la descripción de métodos efectivos de evaluación numérica y asintótica de las soluciones no negativas de estas recurrencias cuando la evaluación directa de la recurrencia es inestable.